Persamaan Garis Singgung Kurva
Persamaan garis singgung kurva y = f(x) dititik T(x1, y1) dirumuskan sebagai
y � y1 = m(x � x1)
dimana m = f�(x1).
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 � 8x + 4 di titikT(2, 8)
Jawab
Titik singgung di T(2, 8), maka x1 = 2
Maka
m = f�(x1)
m = 10x1 � 8
m = 10(2) � 8
m = 12
02. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x3 � 6x2 + 4x + 11 di titikT(3, �4)
Jawab
Titik singgung di T(3, �4), maka x1 = 3 dan y1 = �4, sehingga
m = f�(x1)
m = 3x2 � 12x + 4
m = 3(3)2 � 12(3) + 4
m = 27 � 36 + 4
m = �5
Jadi
y � (�4) = �5(x � 3)
y + 4 = �5x + 15
y = �5x + 15 � 4
y = �5x + 11
03. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x3 � 4x2 di titik berabsis 2
Jawab
Diketahui x1 = 2 maka y1 = 2(2)3 � 4(2)2 = 16 � 16 = 0 sehingga
m = f�(x1)
m = 3x2 � 8x
m = 3(2)2 � 8(2)
m = 24 � 16
m = 8
Jadi
y � 0 = 8(x � 2)
y = 8x � 16
04. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2 � 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3
Jawab
Diketahui f(x) = x2 � 5x + 6.
Jika m = 3 maka m = f �(x1) = 2x1 � 5
3 = 2x1 � 5
8 = 2x1 Jadi x1 = 4
y1 = (4)2 � 5(4) + 6 = 16 � 20 + 6 = 2
Sehingga y � y1 = m(x � x1)
y � 2 = 3(x � 4)
y � 2 = 3x � 12
y = 3x � 12 + 2
y = 3x � 10
05. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3 � 3x2 � 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4
Jawab
Diketahui f(x) = x3 � 3x2 � 5x + 10.
Jika m = 4 maka m = f �(x) = 3x2 � 6x � 5
4 = 3x2 � 6x � 5
0 = 3x2 � 6x � 9
0 = x2 � 2x � 3
0 = (x � 3)( x + 2) Jadi x1 = 3 atau x2 = �2
y1 = (3)3 � 3(3)2 � 5(3) + 10 = 27 � 27 � 15 + 10 = �5
y2 = (�2)3 � 3(�2)2 � 5(�2) + 10 = �8 � 12 + 10 + 10 = 0
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y � y1 = m(x � x1)
y � (�5) = 4(x � 3)
y = 4x � 17
PGS Kedua
y � y2 = m(x � x2)
y � 0 = 4(x � (�2))
y = 4x + 8
06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 � 6x + 2 dititik yang berordinat �3
Jawab
Diketahui y = �3, maka �3 = x2 � 6x + 2
0 = x2 � 6x + 5
0 = (x � 5)(x � 1)
x1 = 5 atau x2 = 1
Graddiennya : f �(x) = 2x � 6
m1 = 2(5) � 6 = 4
m2 = 2(1) � 6 = �4
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y � y1 = m(x � x1)
y � (�3) = 4(x � 5)
y + 3 = 4x � 20
y = 4x � 23
PGS kedua
y � y2 = m(x � x2)
y � (�3) = �4(x � 1)
y + 3 = �4x + 4
y = �4x + 1
y � y1 = m(x � x1)
dimana m = f�(x1).
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 � 8x + 4 di titikT(2, 8)
Jawab
Titik singgung di T(2, 8), maka x1 = 2
Maka
m = f�(x1)
m = 10x1 � 8
m = 10(2) � 8
m = 12
02. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x3 � 6x2 + 4x + 11 di titikT(3, �4)
Jawab
Titik singgung di T(3, �4), maka x1 = 3 dan y1 = �4, sehingga
m = f�(x1)
m = 3x2 � 12x + 4
m = 3(3)2 � 12(3) + 4
m = 27 � 36 + 4
m = �5
Jadi
y � (�4) = �5(x � 3)
y + 4 = �5x + 15
y = �5x + 15 � 4
y = �5x + 11
03. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x3 � 4x2 di titik berabsis 2
Jawab
Diketahui x1 = 2 maka y1 = 2(2)3 � 4(2)2 = 16 � 16 = 0 sehingga
m = f�(x1)
m = 3x2 � 8x
m = 3(2)2 � 8(2)
m = 24 � 16
m = 8
Jadi
y � 0 = 8(x � 2)
y = 8x � 16
04. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2 � 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3
Jawab
Diketahui f(x) = x2 � 5x + 6.
Jika m = 3 maka m = f �(x1) = 2x1 � 5
3 = 2x1 � 5
8 = 2x1 Jadi x1 = 4
y1 = (4)2 � 5(4) + 6 = 16 � 20 + 6 = 2
Sehingga y � y1 = m(x � x1)
y � 2 = 3(x � 4)
y � 2 = 3x � 12
y = 3x � 12 + 2
y = 3x � 10
05. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3 � 3x2 � 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4
Jawab
Diketahui f(x) = x3 � 3x2 � 5x + 10.
Jika m = 4 maka m = f �(x) = 3x2 � 6x � 5
4 = 3x2 � 6x � 5
0 = 3x2 � 6x � 9
0 = x2 � 2x � 3
0 = (x � 3)( x + 2) Jadi x1 = 3 atau x2 = �2
y1 = (3)3 � 3(3)2 � 5(3) + 10 = 27 � 27 � 15 + 10 = �5
y2 = (�2)3 � 3(�2)2 � 5(�2) + 10 = �8 � 12 + 10 + 10 = 0
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y � y1 = m(x � x1)
y � (�5) = 4(x � 3)
y = 4x � 17
PGS Kedua
y � y2 = m(x � x2)
y � 0 = 4(x � (�2))
y = 4x + 8
06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 � 6x + 2 dititik yang berordinat �3
Jawab
Diketahui y = �3, maka �3 = x2 � 6x + 2
0 = x2 � 6x + 5
0 = (x � 5)(x � 1)
x1 = 5 atau x2 = 1
Graddiennya : f �(x) = 2x � 6
m1 = 2(5) � 6 = 4
m2 = 2(1) � 6 = �4
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y � y1 = m(x � x1)
y � (�3) = 4(x � 5)
y + 3 = 4x � 20
y = 4x � 23
PGS kedua
y � y2 = m(x � x2)
y � (�3) = �4(x � 1)
y + 3 = �4x + 4
y = �4x + 1