Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Misalkan A = {x� a < x < b } maka berlaku
(1) Jika f(x) adalah fungsi naik pada interval A maka f�(x) > 0, untuk setiap x ? A
(2) Jika f(x) adalah fungsi turun pada interval A maka f�(x) < 0, untuksetiap x ? A
(3) Jika f(x) adalah fungsi tidak naik pada interval A maka f�(x) = 0, untuksetiap x ? A
(4) Jika f(x) adalah fungsi tidak turun pada interval A maka f�(x) = 0,untuksetiap x ? A
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini
01. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 3x2 � 12x + 5
Jawab
f(x) = 3x2 � 12x + 5
f�(x) = 6x � 12
maka
f�(x) = 0
6x � 12 = 0
6x = 12
x = 2
Uji x = 0 maka f�(0) = 6(0) � 12 = �12 < 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 6(4) � 12 = 12 > 0
sehingga : Interval turun pada x > 2
Interval naik pada x > 2
02. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 9 + 2x � 4x2
Jawab
f(x) = 9 + 2x � 4x2
f�(x) = 2 � 8x
maka
f�(x) = 2 � 8x
2 � 8x = 0
�8x = �2
x = 1/4
Uji x = 0 maka f�(0) = 2 � 8(0) = 2 > 0
Uji x = 2 maka f�(2) = 2 � 8(2) = �14 < 0
sehingga :
Interval naik pada x < 1/4
Interval turun pada x > 1/4
03. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = x3 + 3x2 � 45x + 10
Jawab
f(x) = x3 + 3x2 � 45x + 10
f�(x) = 3x2 + 6x � 45
maka
f�(x) = 3x2 + 6x � 45
3x2 + 6x � 45 = 0
x2 + 2x � 15 = 0
(x + 5)(x � 3) = 0
x1 = �5 dan x1 = 3
Uji x = �10 maka f�(�10) = 3(�10)2 + 6(�10) � 45 = 195 > 0
Uji x = 0 maka f�(0) = 3(0)2 + 6(0) � 45 = �45 < 0
Uji x = 5 maka f�(5) = 3(5)2 + 6(5) � 45 = �14 > 0
sehingga : Interval naik pada x < �5 atau x > 3
Interval turun pada �5 < x < 3
Jika titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik stasioner maka f�(x) = 0
Terdapat tiga macam titik stasioner, yaitu:
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x2 � 6x + 5
Jawab
f(x) = x2 � 6x + 5
f�(x) = 2x � 6
maka
f�(x) = 2x � 6 = 0
2x = 6
Jadi x = 3 y = (3)2 � 6(3) + 5 = �4 Titiknya (3, �4)
Uji x = 1 maka f�(1) = 2(1) � 6 = �4 < 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 2(4) � 6 = 2 > 0
sehingga : Titik (3, �4) adalah titik minimum stasioner
02. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 � 3x2 � 9x + 10
Jawab
f(x) = x3 � 3x2 � 9x + 10
f�(x) = 3x2 � 6x � 9
maka
f�(x) = 3x2 � 6x � 9 = 0
x2 � 2x � 3 =0
(x � 3)(x + 1) = 0
Jadi x = 3 y = (3)3 � 3(3)2 � 9(3) + 10 = �17 Titiknya (3, �17)
x = �1 y = (�1)3 � 3(�1)2 � 9(�1) + 10 = 15 Titiknya (�1, 15)
Uji x = �2 maka f�(�2) = 3(�2)2 � 6(�2) � 9 = 15 > 0
Uji x = 0 maka f�(1) = 3(0)2 � 6(0) � 9 = �9 < 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 3(4)2 � 6(4) � 9 = 15 > 0
sehingga :
Titik (3, �17) adalah titik maksimum stasioner
Titik ((�1, 15) adalah titik minimum stasioner
03. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 � 6x2 + 12x + 6
Jawab
f(x) = x3 � 6x2 + 12x + 6
f�(x) = 3x2 � 12x + 12
maka f�(x) = 3x2 � 12x + 12 = 0
x2 � 4x + 4 =0
(x � 2)(x � 2) = 0
Jadi x = 2 y = (2)3 � 6(2)2 + 12(2) + 6 = 14
Titiknya (2, 14)
Misalkan A = {x� a < x <b }makaberlaku
(1) Fungsi f dikatakan cekung ke atas dalam interval A jika f�(x) > 0, untuk setiap x ? A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada dibawah kurva
(2) Fungsi f dikatakan cekung ke bawah dalam interval A jika f�(x) < 0, untuk setiap x ? A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada diatas kurva
Suatu titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik belok kurva jika f�(x1) = 0 atau f�(x1) tidak ada serta berlaku
Sebagai contoh akan diuraikan pada soal berikut ini :
01. Diketahui fungsi f(x) = x3 � 6x2 + 4x � 5. Tentukanlah :
(a) interval fungsi naik dan turun
(b) Koordinat titik stasioner
(c) Interval cekung atas dan cekung bawah
(d) Koordinat titik beloknya
Jawab
f(x) = x3 � 6x2 + 9x � 5
f�(x) = 3x2 � 12x + 9
f��(x) = 6x �12
sehingga
(a) Interval naik dan turun
f�(x) = 0
3x2 � 12x + 9 = 0
x2 � 4x + 3 = 0
(x � 1)(x � 3) = 0 maka x = 1 dan x = 3
Uji : x = 0 maka f�(0) = 3(0)2 � 12(0) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)
Uji : x = 2 maka f�(2) = 3(2)2 � 12(2) + 9 = �3 < 0 (fungsi turun)
Uji : x = 4 maka f�(4) = 3(4)2 � 12(4) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)
Sehingga
interval fungsi naik pada x < 1 atau x > 3
interval fungsi turun pada 1 < x < 3
(b) Titik stasioner adalah :
x = 1 maka f(1) = (1)3 � 6(1)2 + 9(1) � 5 = �1 , Titik maksimum di (1, �1)
x = 3 maka f(3) = (3)3 � 6(3)2 + 9(3) � 5 = �5 , Titik minimum di (3, �5)
(c) Interval cekung atas dan bawah
f��(x) = 0
6x �12 = 0
6x = 12 maka x = 2
Uji : x = 0 maka f��(0) = 6(0) � 12 = �12 < 0 (cekung bawah)
Uji : x = 4 maka f��(4) = 6(4) � 12 = 12 > 0 (cekung atas)
Jadi interval cekung bawah x < 2 dan interval cekung atas x > 2
(d) Koordinat titik beloknya :
x = 2 maka f(2) = (2)3 � 6(2)2 + 9(2) � 5 = �3 , Titiknya (2, �3)
(1) Jika f(x) adalah fungsi naik pada interval A maka f�(x) > 0, untuk setiap x ? A
(2) Jika f(x) adalah fungsi turun pada interval A maka f�(x) < 0, untuksetiap x ? A
(3) Jika f(x) adalah fungsi tidak naik pada interval A maka f�(x) = 0, untuksetiap x ? A
(4) Jika f(x) adalah fungsi tidak turun pada interval A maka f�(x) = 0,untuksetiap x ? A
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini
01. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 3x2 � 12x + 5
Jawab
f(x) = 3x2 � 12x + 5
f�(x) = 6x � 12
maka
f�(x) = 0
6x � 12 = 0
6x = 12
x = 2
Uji x = 0 maka f�(0) = 6(0) � 12 = �12 < 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 6(4) � 12 = 12 > 0
sehingga : Interval turun pada x > 2
Interval naik pada x > 2
02. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = 9 + 2x � 4x2
Jawab
f(x) = 9 + 2x � 4x2
f�(x) = 2 � 8x
maka
f�(x) = 2 � 8x
2 � 8x = 0
�8x = �2
x = 1/4
Uji x = 0 maka f�(0) = 2 � 8(0) = 2 > 0
Uji x = 2 maka f�(2) = 2 � 8(2) = �14 < 0
sehingga :
Interval naik pada x < 1/4
Interval turun pada x > 1/4
03. Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi f(x) = x3 + 3x2 � 45x + 10
Jawab
f(x) = x3 + 3x2 � 45x + 10
f�(x) = 3x2 + 6x � 45
maka
f�(x) = 3x2 + 6x � 45
3x2 + 6x � 45 = 0
x2 + 2x � 15 = 0
(x + 5)(x � 3) = 0
x1 = �5 dan x1 = 3
Uji x = �10 maka f�(�10) = 3(�10)2 + 6(�10) � 45 = 195 > 0
Uji x = 0 maka f�(0) = 3(0)2 + 6(0) � 45 = �45 < 0
Uji x = 5 maka f�(5) = 3(5)2 + 6(5) � 45 = �14 > 0
sehingga : Interval naik pada x < �5 atau x > 3
Interval turun pada �5 < x < 3
Jika titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik stasioner maka f�(x) = 0
Terdapat tiga macam titik stasioner, yaitu:
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x2 � 6x + 5
Jawab
f(x) = x2 � 6x + 5
f�(x) = 2x � 6
maka
f�(x) = 2x � 6 = 0
2x = 6
Jadi x = 3 y = (3)2 � 6(3) + 5 = �4 Titiknya (3, �4)
Uji x = 1 maka f�(1) = 2(1) � 6 = �4 < 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 2(4) � 6 = 2 > 0
sehingga : Titik (3, �4) adalah titik minimum stasioner
02. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 � 3x2 � 9x + 10
Jawab
f(x) = x3 � 3x2 � 9x + 10
f�(x) = 3x2 � 6x � 9
maka
f�(x) = 3x2 � 6x � 9 = 0
x2 � 2x � 3 =0
(x � 3)(x + 1) = 0
Jadi x = 3 y = (3)3 � 3(3)2 � 9(3) + 10 = �17 Titiknya (3, �17)
x = �1 y = (�1)3 � 3(�1)2 � 9(�1) + 10 = 15 Titiknya (�1, 15)
Uji x = �2 maka f�(�2) = 3(�2)2 � 6(�2) � 9 = 15 > 0
Uji x = 0 maka f�(1) = 3(0)2 � 6(0) � 9 = �9 < 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 3(4)2 � 6(4) � 9 = 15 > 0
sehingga :
Titik (3, �17) adalah titik maksimum stasioner
Titik ((�1, 15) adalah titik minimum stasioner
03. Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 � 6x2 + 12x + 6
Jawab
f(x) = x3 � 6x2 + 12x + 6
f�(x) = 3x2 � 12x + 12
maka f�(x) = 3x2 � 12x + 12 = 0
x2 � 4x + 4 =0
(x � 2)(x � 2) = 0
Jadi x = 2 y = (2)3 � 6(2)2 + 12(2) + 6 = 14
Titiknya (2, 14)
Uji x = 0 maka f�(0) = 3(0)2 � 12(0) + 12 = 12 > 0
Uji x = 4 maka f�(4) = 3(4)2 � 12(4) + 12 = 12 > 0
sehingga : Titik (2, 14) adalah titik belok stasioner
Misalkan A = {x� a < x <b }makaberlaku
(1) Fungsi f dikatakan cekung ke atas dalam interval A jika f�(x) > 0, untuk setiap x ? A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada dibawah kurva
(2) Fungsi f dikatakan cekung ke bawah dalam interval A jika f�(x) < 0, untuk setiap x ? A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada diatas kurva
Suatu titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik belok kurva jika f�(x1) = 0 atau f�(x1) tidak ada serta berlaku
Sebagai contoh akan diuraikan pada soal berikut ini :
01. Diketahui fungsi f(x) = x3 � 6x2 + 4x � 5. Tentukanlah :
(a) interval fungsi naik dan turun
(b) Koordinat titik stasioner
(c) Interval cekung atas dan cekung bawah
(d) Koordinat titik beloknya
Jawab
f(x) = x3 � 6x2 + 9x � 5
f�(x) = 3x2 � 12x + 9
f��(x) = 6x �12
sehingga
(a) Interval naik dan turun
f�(x) = 0
3x2 � 12x + 9 = 0
x2 � 4x + 3 = 0
(x � 1)(x � 3) = 0 maka x = 1 dan x = 3
Uji : x = 0 maka f�(0) = 3(0)2 � 12(0) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)
Uji : x = 2 maka f�(2) = 3(2)2 � 12(2) + 9 = �3 < 0 (fungsi turun)
Uji : x = 4 maka f�(4) = 3(4)2 � 12(4) + 9 = 9 > 0 (fungsi naik)
Sehingga
interval fungsi naik pada x < 1 atau x > 3
interval fungsi turun pada 1 < x < 3
(b) Titik stasioner adalah :
x = 1 maka f(1) = (1)3 � 6(1)2 + 9(1) � 5 = �1 , Titik maksimum di (1, �1)
x = 3 maka f(3) = (3)3 � 6(3)2 + 9(3) � 5 = �5 , Titik minimum di (3, �5)
(c) Interval cekung atas dan bawah
f��(x) = 0
6x �12 = 0
6x = 12 maka x = 2
Uji : x = 0 maka f��(0) = 6(0) � 12 = �12 < 0 (cekung bawah)
Uji : x = 4 maka f��(4) = 6(4) � 12 = 12 > 0 (cekung atas)
Jadi interval cekung bawah x < 2 dan interval cekung atas x > 2
(d) Koordinat titik beloknya :
x = 2 maka f(2) = (2)3 � 6(2)2 + 9(2) � 5 = �3 , Titiknya (2, �3)