Teorema Faktor
Secara umum teorema faktor berbunyi: �Jika G(x) adalah faktor dari polinom F(x), maka F(x) dibagi G(x) mendapatkan sisa nol,
Secara khusus jika (x � k) adalah faktor linier dari polinom F(x) maka F(k) = 0. dan x = k adalah salah satu akar akar persamaan F(x) = 0
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini
01. Buktikanlah bahwa (x + 3) adalah faktor dari x3 + x2 � 9x � 9
Jawab
Jika (x + 3) adalah factor dari F(x) = x3 + x2 � 9x � 9, maka F(�3) = 0
Uji :
F(�3) = (�3)x3 + (�3)2 � 9(�3) � 9
F(�3) = �27 + 9 + 27 � 9
F(�3) = 0
Terbukti bahwa (x + 3) adalah faktor dari x3 + x2 � 9x � 9
02. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan x4 � 4x3 � x2 + 16x � 12 = 0
Jawab
Dengan menggunakan skema Horner diperoleh:
Faktor-faktornya : (x � 2), (x + 2), (x � 1) dan (x � 3)
03. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan x4 � x3 � x2 + 4x � 12 = 0
Jawab
Karena hasil bagi Horner terakhir,yakni x2 � x + 3 tidak dapat difaktorkan lagi, maka faktor-faktor linier dari persamaan x4 � x3 � x2 + 4x � 12 = 0 adalah (x � 2) dan (x + 2)
04. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan 2x3 � x2 � 18x + 9 = 0
Jawab
Faktor-faktor liniernya : (x � 2), (x + 3) dan (2x � 1)
Jika x1 , x2 , x3 , � dan xn adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan polinom anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + � + a1x + a0 = 0 maka x1 , x2 , x3 , � dan xn dinamakan akar-akar polinom tersebut. Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suatu polinom dapat diturunkan sebagai berikut:
Sebagai ilustrasi:
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini:
05. Tentukanlah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinom 2x3 � 5x2 + 4x � 6 = 0
jawab
06. Diketahui persamaan polinom berderajat empat ax4 + 6x3 � 5x2 + x + 9 = 0. Jika x1 + x2 + x3 + x4 = �2 maka tentukanlah nilai x1 . x2 . x3 . x4 !
Jawab
07. Salah satu akar dari persamaan 2x3 + 3x2 + 7x + 3p = 0 adalah �1. Tentukanlah hasil kali dua akar yang lain !
Jawab
Secara khusus jika (x � k) adalah faktor linier dari polinom F(x) maka F(k) = 0. dan x = k adalah salah satu akar akar persamaan F(x) = 0
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh berikut ini
01. Buktikanlah bahwa (x + 3) adalah faktor dari x3 + x2 � 9x � 9
Jawab
Jika (x + 3) adalah factor dari F(x) = x3 + x2 � 9x � 9, maka F(�3) = 0
Uji :
F(�3) = (�3)x3 + (�3)2 � 9(�3) � 9
F(�3) = �27 + 9 + 27 � 9
F(�3) = 0
Terbukti bahwa (x + 3) adalah faktor dari x3 + x2 � 9x � 9
02. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan x4 � 4x3 � x2 + 16x � 12 = 0
Jawab
Dengan menggunakan skema Horner diperoleh:
Faktor-faktornya : (x � 2), (x + 2), (x � 1) dan (x � 3)
03. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan x4 � x3 � x2 + 4x � 12 = 0
Jawab
Karena hasil bagi Horner terakhir,yakni x2 � x + 3 tidak dapat difaktorkan lagi, maka faktor-faktor linier dari persamaan x4 � x3 � x2 + 4x � 12 = 0 adalah (x � 2) dan (x + 2)
04. Tentukanlah faktor-faktor linier dari persamaan 2x3 � x2 � 18x + 9 = 0
Jawab
Faktor-faktor liniernya : (x � 2), (x + 3) dan (2x � 1)
Jika x1 , x2 , x3 , � dan xn adalah nilai-nilai x yang memenuhi persamaan polinom anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + � + a1x + a0 = 0 maka x1 , x2 , x3 , � dan xn dinamakan akar-akar polinom tersebut. Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan suatu polinom dapat diturunkan sebagai berikut:
Sebagai ilustrasi:
Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini:
05. Tentukanlah jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinom 2x3 � 5x2 + 4x � 6 = 0
jawab
06. Diketahui persamaan polinom berderajat empat ax4 + 6x3 � 5x2 + x + 9 = 0. Jika x1 + x2 + x3 + x4 = �2 maka tentukanlah nilai x1 . x2 . x3 . x4 !
Jawab
07. Salah satu akar dari persamaan 2x3 + 3x2 + 7x + 3p = 0 adalah �1. Tentukanlah hasil kali dua akar yang lain !
Jawab
