Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

1. Diskriminan

Pada pembahasan sebelumnya, telah diuraikan tentuang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yakni dengan rumus kudrat, yaitu:

Dari rumus diatas terlihat bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat dipengaruhi dari nilai b² � 4ac. Jika nilai ini negatif tentu saja akar-akarnya tidak dapat ditentukan (imajiner) dan jika nilai ini berbenentuk bilangan kuadrat maka akar-akarnya akan rasional, dan seterusnya

Nilai b² � 4ac dinamakan diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Ditinjau dari diskriminan tersebut, maka persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga macam, yaitu :

D > 0 : Mempunyai dua akar real yang berlainan
Dimana untuk D bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional dan untuk D bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irrasional

D = 0 : Mempunyai dua akar real yang sama

D < 0 : Mempunyai akar-akar imajiner (tidak nyata)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
(a). 2x² � 7x + 6 = 0
(b) x² � 6x + 12 = 0
(c) x² � 4x + 1 = 0
Jawab
(a). 2x² � 7x + 6 = 0
Uji : D = b² � 4ac
D = (�7)² � 4(2)(6)
D = 49 � 48
D = 1
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas rasional berlainan

(b). x² � 6x + 12 = 0
Uji : D = b² � 4ac
D = (�6)² � 4(1)(12)
D = 36 � 48
D = �12
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas imajiner (tidak nyata)

(c). x² � 4x � 1 = 0
Uji : D = b² � 4ac
D = (�4)² � 4(1)( �1)
D = 16 + 4
D = 20
Jadi akar-akar persamaan kuadrat di atas irrasional berlainan

02. Tentukanlah nilai p agar persamaan kuadrat berikut ini memiliki akar yang sama
(a) x² � px + 16 = 0
(b) (p + 3)x² � 4x + p = 0
Jawab

(a) x² � px + 16 = 0
Syarat : D = 0
b² � 4ac = 0
(�p)² � 4(1)(16) = 0
p² � 64 = 0
(p � 8)(p + 8) = 0
Jadi nilai p = 8 atau p = �8

(b) (p + 3)x² � 4x + p = 0
Syarat : D = 0
b² � 4ac = 0
(�4)² � 4(p + 3)(p) = 0
16 � 4p² � 12p = 0
�4p² � 12p + 16 = 0
p² + 3p � 4 = 0
(p + 4)(p � 1) = 0
Jadi nilai p = �4 atau p = 1

03. Tentukanlah batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat berikut ini tidak memiliki akar yang nyata
(a) x² � 3x � 3m = 0
(b) (m + 1)x² + 2mx + (m � 2) = 0
Jawab

(a) x² � 3x � 3m = 0
Syarat : D < 0
b² � 4ac < 0
(�3)² � 4(1)(�3m) < 0
9 + 12m < 0
12m < �9
m < �9/12
m < �3/4

(b) (m + 1)x² + 2mx + (m � 2) = 0
Syarat : D < 0
b² � 4ac < 0
(2m)² � 4(m + 1)(m � 2) < 0
4m² � 4(m² � m � 2) < 0
4m² � 4m² � 4m � 8 < 0
�4m � 8 < 0
�4m < 8
m > �2

2. Hasil penjumlahan, pengurangan, dan hasil kali akar-akar persamaan Kuadrat

Suatu persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 , a ? 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 , dimana x1 > x2 , maka berlaku:

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01 Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x² � 3x + 6 = 0 maka tentukanlah nilai

02 Jika salah satu akar dari persamaan x² � 10x + (k + 3) = 0 adalah empat kali akar yang lain, maka tentukanlah nilai k
Jawab

3. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan menggunakan perkalian faktor dan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, dan misalkan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah ( x1 + x2 ) dan (x1 . x2) maka persamaan kuadrat dapat dibentuk dengan formula sebagai berikut

x² - ( x1 + x2)x + (x1 . x2 ) = 0

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya �3 dan 4
Jawab
x² - ( x1 + x2 )x + (x1 . x2 ) = 0
x² - (�3 + 4)x + (�3)(4) = 0
x² - x � 12 = 0

02. Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 � v5 dan 3 + v5
Jawab

03. Tentukanlah persamaan kuadarat yang akar-akarnya empat lebihnya dari akar-akar x² + 5x � 2 = 0
Jawab

Share this post