Operasi Pembagian Pada Polinomial

Pembagian polinom pada prinsipnya bersesuaian dengan pembagian pada bilangan. Sebagai contoh akan kita lakukan pembagian 623 dengan 3 sebagai berikut:

Pembagian dengan cara diatas dinamakan metoda bersusun. Untuk pembagian polinom, prosesnya memenuhi juga aturan bersusun diatas.

Sebagai contoh akan dilakukan pembagian bentuk polinom (2x³ � 5x² + 4x + 3) dengan (x � 3) sebagai berikut:

Dalam hal ini :
x � 3 dinamakan pembagi
2x³ � 5x² + 4x + 3 dinamakan yang dibagi
2x² + x + 7 dinamakan hasil bagi
24 dinamakan sisa pembagian
Sehingga berlaku : 2x³ � 5x² + 4x + 3 = (x � 3)( 2x² + x + 7) + 24

Sehingga secara umum sifat dari pembagian polinom memenuhi aturan:

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Selain dengan metoda bersusun, pembagian polinom dapat juga dilakukan dengan skema Horner. Sebagai contoh akan dilakukan kembali pembagian bentuk polinom (2x³ � 5x² + 4x + 3) dengan (x � 3) menggunakan metoda Horner sebagai berikut:

Sehingga didapatkan Hasil Bagi = 2x² + 1x + 7 dan sisa = 24
Selanjutnya, penggunaan metoda Horner ini mengharuskan pembagi dikelompok- kan sebagai berikut:

a. Pembagian polinom dengan (x � k)
Jika polinom F(x) dibagi (x � k) akan memperoleh hasil bagi H(x) dan sisa s maka dalam hal ini berlaku sifat :
F(x) = (x � k)H(x) + s
Untuk x = k memenuhi
F(k) = (k � k)H(k) + s
F(k) = (0) + s
F(k) = s
Jadi Menurut Teorema Horner : Hasil bagi = H(x)
Sisa pembagian = F(k)

b. Pembagian polinom dengan (ax � b)


c. Pembagian polinom dengan (x � x1)(x � x2)
Jika polinom F(x) dibagi dengan (x � x1)(x � x2) akan menghasilkan hasil bagi dan sisa pembagian dengan dua kali tahapan Horner (Horner tingkat dua). Pada tingkat pertama F(x) dibagi dengan (x � x1) menghasilkan hasil bagi H1(x) dan sisa s1. Kemudian pada tingkat kedua hasil bagi H1(x) dibagi lagi dengan (x � x2) menghasilkan hasil bagi H2(x) dan sisa s2. Prosesnya adalah sebagai berikut :
F(x) = (x � x1)H1(x) + s1
F(x) = (x � x1) [(x � x2) H2(x) + s2 ] + s1
F(x) = (x � x1)(x � x2) H2(x) + (x � x1)s2 + s1
Bentuk terakhir ini menunjukkan polinom F(x) dibagi dengan (x � x1)(x � x2) akan menghasilkan : Hasil bagi = H2(x)
Sisa pembagian = (x � x1)s2 + s1

d. Pembagian polinom dengan ax² + bx + c = a(x � x1)(x � x2)
Merunut dari bentuk c di atas maka hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom F(x) dengan ax² + bx + c = a(x � x1)(x � x2) didapat dari proses berikut:


Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut ini :
01. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (x³ � 3x² � 5x � 3) : (x � 2) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun

Jadi : Hasil bagi = x² � x � 7
Sisa = �17

(b) Dengan skema Horner

Hasil Bagi = 1x² � 1x � 7 = x² � x � 7
Sisa = �17

02. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (4x⁴ + 3x² � 2x + 5) : (2x � 1) dengan metoda :
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun


(b) Dengan skema Horner


03. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (x³ � 2x² � 6x + 8) : (x² � 9) dengan metoda
(a) Pembagian Bersusun
(b) Skema Horner
Jawab
(a) Dengan pembagian bersusun

Jadi : Hasil bagi = x � 2
Sisa = 3x � 10

(b) Dengan skema Horner
Pembagi : x² � 9 = (x � 3)(x + 3)
                 x1 = 3 dan x2 = �3
sehingga

Hasil Bagi = x � 2
Sisa = (x � x1)s2 + s1
= (x � 3)3 + (�1)
= 3x � 9 � 1
= 3x � 10

04. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari pembagian (2x⁴ + 3x³ � 12x² � 13x + 5) : (2x² + 3x � 2) dengan metoda Skema Horner
Jawab


05. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian (4x⁴ + 8x³ � 5x² + 2x � 1) : (4x² � 1) dengan metoda Skema Horner
Jawab


06. Tentukanlah hasil bagi dan sisa dari (3x³ � 8x² + 15x � 6) : (x² � 2x + 5) dengan metoda pembagian Bersusun
Jawab

Share this post